足球跑到多长？
球体在静止时，其质心在其几何中心；运动时（包括旋转），质心必然移动，其位置可由牛顿运动定律来描述： 由于球的曲面是各向同性的、连续的，因此任意两点处切线的方向余弦相同，因而有 从上列各式可以看出，质心的位置由球体的几何尺寸和重量分布来决定。为了求出质心位置，需要知道下列四个数值：半径r，质量m1及到球心的距离r1的两个点所对的圆周角α1和α2(见图)；而半径R，质量m2以及到球心的距离r2的三个点所对的圆周角α3，α4，α5，且必须满足 将上列四个条件按三角函数关系式展开得方程组： 此方程组的解为： r=0.367r0， mx=0.866mr0 (1) my=-0.569rmr0 (2) xc=rcosα1+0.667rcosα2 yc=rsinα1+0.333rsinα2 zc=0 对国际足联的规则来说，比赛场地必须是平的，所以z0应取零值。
质心与球心之间的垂直距离随三个因素变化：半径的变化，重心到球心距离的变化，以及重心的方位发生变化，而这三个因素均与球的形状有关。
首先来看半径的改变对zc的影响。以半径增量△r表示半径的变化量，用△α1，△α2分别代表因半径改变引起的两个顶点与球心的倾斜角度的增加，则△α1，△α2与△r的关系如下： α1′=arccos[1-0.998/(1+0.007△r)] ; α2′=arccos[1-0201/ （1+0.007Δr）] （注意下标“'”） 根据上面的公式可以画出下面两幅直角三角形，它们分别是当△r=±0.001时两种不同形状的圆的斜边长度与顶角的对应关系。
从图中可以看出，随着半径的增加，质心的垂直位移逐渐减小并趋于一个稳定值。 下面我们来讨论一下重心位置的变化情况。以△α1，△α2，△α3，△α4，△α5分别表示重心位置沿三个轴方向的偏移量，则有： △α1'=0.0002△r; △α2'=0.0001△r; △α3'=－0.0002△r; 上面四式的分子与分母都有0.007这一因子，因此在△r非常小的情况下，分子的影响大于分母的影响，于是我们可以得到以下结论： 当△r很小时，△xc～△α3，即重心向远离底边的方向移动。 这个现象很好解释：因为球的表面是各向同性的，当半径增加的时候，球体的体积会扩大，但表面积不会随之成比例增大，所以在同样大小的球体内放置更多的质量，重心必然向远离底边的方向移动。
对于半径增大的作用有一个很好的例子——保龄球，它是一个直径很大的球体，通常保龄球由橡胶制作而成，其密度远比水的小得多，如果将其视为刚体，那么其重力势能相对于它的体积而言可忽略不计，而且其重心也在圆心上，根据公式mc²>ρVg可知，ρ越小，重心越靠近球心。然而事实上保龄球的重心几乎位于球体的中央位置，这是因为保龄球的表面被处理成了具有低弹性模量的橡胶材质所致【1】！可见，为了达到理想的重心降低效果，除了通过减小半径的办法外，还需要考虑给其添加合适的减震层。 这与高尔夫球的制造工艺类似：先将内芯用粘合剂填充至预定尺寸，然后在外表层涂上聚氨酯【2】涂层以提高球的速度和稳定性。 高尔夫球的质心与球心的相对位置可以通过下表计算出来【3】： 从表中可以看出，高尔夫球的xy坐标均小于0（负号表示x，y坐标均为正值，这符合右手法则），这就意味着它的重心是向远离底边的方向移动的，这一点恰好与上面的公式所给出的结果一致。
最后来看一下重心的方位改变的情况。设M点为新的质心位置，过C点作垂线CB交OM于B点，根据三角形相似原理，可得： M=O·CB / OC ·CO ＝ O·sinα2cosα1 / sinα1cosα2 代入数据计算可得： M≈0.39cm 如果要使其重新回到原来的位置，则需要让半径减少约0.005cm才能完成。 但实际上，这个0.39厘米的量级是很小的，也就是说，在实际应用中，这种效应可以被忽略掉。